--- note_type: source state: seed created: 2026-10-08 aliases: - 沪教版教参必修第二册·第8章 tags: - 数学/教参 - 数学/沪教版 topics: - 上海高考数学 - 教参 source: 沪教版教参必修第二册.md（原文件第 1415–2160 行） --- # 第 8 章平面向量 > 拆分自 [[沪教版教参必修第二册]] · **第 8 章平面向量**（原文件第 1415–2160 行）。 > 正文、公式与图片引用逐字保留；标题按语义重算层级，OCR 噪声前缀（页码/页边框）已清理。 ## 一、本章概述 ### 总体要求向量具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景. 向量既是代数研究的对象, 也是几何研究的工具. 向量是沟通几何与代数的桥梁, 通过向量可以用代数的方法研究直线、曲线、平面、曲面以及高维空间中的数学问题, 是进一步学习和研究数学其他领域问题的基础. 在解决实际问题中, 向量也有广泛的应用. 本单元的学习, 可以帮助学生理解平面向量的代数表示与几何意义; 掌握平面向量的概念、运算、向量基本定理以及向量的应用; 用向量的语言、方法描述和解决现实生活、数学和物理中的问题; 提升数学抽象, 直观想象, 数学运算和逻辑推理素养. 几何与代数是高中数学课程的主线之一. 通过形与数的结合, 突出几何直观与代数运算之间的融合, 感悟数学知识之间的关联, 加强对数学整体性的理解. ### 课时安排建议本章的课时安排建议为 10+1 ,共计 11 课时. 建议如下:

章节名	建议课时	具体课时分配建议
8.1 向量的概念和线性运算	3	向量的概念 1 课时
		向量的加法和减法 1 课时
		实数与向量的乘法 1 课时
8.2 向量的数量积	2	向量的投影 1 课时
		向量的数量积的定义与运算律 1 课时
8.3 向量的坐标表示	3	向量基本定理 1 课时
		向量的正交分解与坐标表示、向量线性运算的坐标表示 1 课时
		向量数量积与夹角的坐标表示 1 课时

(续表)

章节名	建议课时	具体课时分配建议
8.4 向量的应用	2	向量的应用 2 课时
复习与小结	1

### 内容编排与特色二期课改教材中“向量”作为服务于其他数学内容的工具进行学习,内容被分解为若干小块, 分布在初中八年级第二学期、初中九年级第一学期、高中二年级第一学期和高中拓展等四册教材中. 本套教材把向量作为一个重要内容, 分为“平面向量”(在必修课程中)和“空间向量”(在选择性必修课程中)两章,给予系统的阐述. 教师不光要解决新旧教材知识上的衔接问题, 更重要的是要理解和体会由向量地位的不同而引起的理念性和实践性的变化, 把向量当作有独立存在意义的学习内容, 而不仅仅是工具性内容. 本章讲的是平面向量, 内容共分为四节, 分别是 8.1 向量的概念和线性运算, 8.2 向量的数量积, 8.3 向量的坐标表示, 8.4 向量的应用. 前三节比较完整地阐述了平面向量的基本理论, 最后一节举了平面向量在数学、力学和生活中的应用的一些例子. “ 8.1 向量的概念和线性运算”通过对力、速度、位移等有物理背景的量的分析, 为学生建立起向量的最初直觉,并用 “既有大小又有方向的量” 给出向量的描述性定义. 紧接着教材给出了向量的几何表示 (用有向线段表示向量), 把向量转化为学生比较熟悉的几何对象, 让学生较为直观地理解向量的方向与模, 理解平面向量的意义和两个向量相等的含义, 并能利用向量处理一些简单的几何问题. 但是, 如果不建立起相应的代数结构, 向量的研究跳不出几何的框架, 就没有独立存在的意义. 由于向量没有直接等同于有向线段 (而是等同于有向线段在平移变换下的等价类), 使得在向量集合上定义线性运算成为可能(例如, 两个向量可以平移到具有相同起点的位置上, 使得可以用平行四边形法则定义它们的和), 并且所定义的运算有很好的实际意义 (如加法与力的合成的一致性). 向量集合上有了线性运算后, 即成为了向量空间, 从而搭起了研究向量的基本框架 (见附录的 1). 这些背景知识教师必须心中有数,但不是面对学生教学的内容. 通过对这些背景的了解,教学中要注意引导学生理解, 向量系统是学生见到的第一个有别于数的系统的有运算的数学结构, 它的运算都要进行严格的定义, 运算所具有的性质都要严格论证. 本小节只讲向量的线性运算 (包括向量的加减法、实数与向量的乘法). 尽管这些是最基本的代数运算, 但这种运算对学生来说是比较抽象的. 学生所熟悉的是数的运算, 建立在用符号表示数基础上的符号运算和函数的运算本质上也都是数的运算. 而向量是一种新的运算对象 (因此符号不全代表数了). 教材借助实例和平面向量的几何表示, 帮助学生理解平面向量的加、减运算和数乘运算的意义及运算规则, 并通过线性运算来研究两个向量的大小与位置关系. 例如, “实验室中借助弹簧秤验证两个力的合成”引出向量的加法, “匀速行驶的科考船在两个不同时间中位置的变化”引出实数与向量的乘法. “8.2 向量的数量积”又是学生没有经历过的新的运算, 实际上它也是向量空间的线性结构之外所添加的一个运算, 用向量的语言描述“角度”这一重要的几何量, 特别是描述“垂直”这一重要的几何性质. (事实上, 在大学的线性代数课程中, “垂直”是通过正定的内积 (即数量积) 来定义的. 但在学生所熟悉的现实的平面或 (三维) 空间中, “垂直”是客观存在或者说预先设定的, 于是数量积则反过来被这预先设定的 “垂直”关系所定义. )教材通过物理中的功的计算,帮助学生理解平面向量数量积的概念及其物理意义；通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义,并通过用数量积判断两个平面向量的垂直关系和平行关系, 使学生初步了解向量的数量积在几何上的应用. 把数量积的定义公式作简单变形, 就得到了求两向量夹角的公式. 这个公式的意义在本节没有显现出来, 因为现在还少有先知道两向量的数量积而求它们的夹角的例子. 在下一节有了向量的坐标表示以后, 可以通过向量的坐标求数量积, 上述求向量夹角的公式就将发挥它的重要作用. “8.3 向量的坐标表示”把几何表示的向量通过直角坐标系的引入又化为代数对象, 使向量成为代数方法解决几何问题的一个有效工具. 注意本套教材这一节的编排与二期课改同一内容的编排不同:在二期课改教材中,先介绍向量的坐标表示,再引入向量基本定理; 本套教材虽然一开始把向量在直角坐标系中的分解作为情境引入, 但马上回过来先给出了向量基本定理, 建立起向量分解理论的基础, 然后把向量的正交分解作为向量分解的特例引出, 最后回到坐标分解. 这样做突出了向量基本定理的重要地位, 同时避免了仅在直角坐标系中讨论向量分解定理的局限性. 除了通过向量的几何形式与代数形式(坐标表示)的联系的建立,使向量成为联系代数、几何、三角的重要纽带外, 老师们还应该清楚地了解本节所蕴含的以下意义: 一, 向量的坐标表示提供了把平面和空间中直观的向量抽象地推广到高维向量空间的渠道,而高维向量空间及其相关的线性变换理论是大学线性代数课程的核心内容; 二, 本节出现了平面向量的基的概念, 它现在似乎很不起眼, 但将来会推广为高维向量空间的基以及维数、线性相关、线性无关等线性代数课程中的重要且有一定难度的概念. 因此, 本节教学应适当强化相关概念, 并尽可能用浅显、直观的语言让学生体会一些深层次的数学思想. “8.4 向量的应用”旨在介绍平面向量在中学阶段的一些最基本的应用, 为此, 教材精心选择了几个典型的例题. 其中, 例 1 用向量方法证明了定比分点公式, 例 2 在此基础上运用定比分点公式求三角形的重心. 例 3 、例 4 继续向量在平面几何中的应用的话题, 例 3 利用向量处理平行关系的优势, 方便地证明了“对角线互相平分的四边形是平行四边形” 这一定理; 例 4 的问题是已知三角形的两条边的向量, 求三角形的面积, 目标是把三角形的面积用两个向量的坐标简洁地表示出来, 但为了降低难度, 先求出用这两个向量的模与数量积表示的面积公式, 把它作为中间结果. 例 5 是一道日常生活中的问题, 例 6 要求用向量方法证明两角差的余弦公式, 例 7 是一道力学背景的问题, 已知合力求分力. 向量的应用是比较广泛的, 特别是在平面几何中有大量的相关问题, 但本教材并没有在这里过分挖掘, 只是点到为止. ### 教学提示向量是沟通代数、几何与三角的桥梁, 也是解决三角、几何等问题的重要工具, 平面几何和三角中的许多概念和定理有对向量的描述, 许多证明和计算可以转化为向量的线性运算以及向量的数量积运算来处理. 在实际教学中需要进一步关注如下几个方面: (1)向量是一个具有实际意义与物理背景的数学模型开展向量教学时, 需要充分利用学生已有的生活经验, 以及物理学科的基础知识, 创设丰富的教学情景, 例如力、速度、加速度, 力的合成与分解, 物体做功等. 通过这些情境材料引导学生了解向量的物理背景, 认识向量作为描述现实问题模型的作用,同时通过解决问题,引导学生学会善于运用向量这一数学模型处理问题的基本方法. (2)向量是联系相关知识的桥梁向量是代数的研究对象, 具有代数表达与运算的特征, 是一种基本的数学语言. 向量的几何意义使我们可以用代数的方法来刻画几何元素(点、线、面),通过向量运算描述几何元素之间的关系, 以及研究长度、面积、体积等几何度量问题. 教学中, 教师要充分关注到向量这些特点, 建立向量与代数、几何、三角之间的联系. (3)向量是解决几何问题的有效工具向量既有代数的抽象性, 又有几何的直观性, 是数形结合的典范. 向量法是研究几何问题的有力工具. 教学中应当引导学生深入体会向量及其运算与几何图形之间的联系, 总结运用向量的代数运算研究几何问题的基本思想. 即构造向量表示平面几何问题中涉及的几何元素,将平面问题转化为向量问题；通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题；最后把运算结果“翻译”成几何结论. 在平面向量的教学中, 应该引导学生体会运用向量处理几何、物理问题等的方法. 通过解决上述问题, 提高学生的运算能力和解决实际问题的能力. ### 评价建议与二期课改教材主要把向量作为解决几何问题的工具进行教学的设计不一样, 本教材把向量作为独立的数学分支进行设计. 因此, 掌握向量这个“体系”是整个教学的抓手, 也是进行教学评价的关键. 向量概念和向量的有向线段表示、向量的线性运算、向量的数量积, 以及向量基本定理与向量的坐标表示, 是本章所涉及的向量理论的核心内容. 向量系统是有别于数的系统的一个全新的系统, 有自己独特的结构和运算体系. 向量系统的教学特别有助于学生数学抽象、逻辑推理、数学运算和直观想象等核心素养的培养, 教学评价也应该聚焦于这些素养的考察. 例如, 考察学生是否根据物理或生活中量的基本特征, 准确辨别出向量和数量; 能否理解用有向线段表示向量对建立向量理论的意义, 并能熟练掌握在有向线段语境中定义(或者说几何地定义)的各种向量运算；能否理解向量基本定理以及建立在该定理基础上的向量的坐标表示, 熟练地进行坐标表示下的各种向量运算. 有些问题并不是传统意义的数学题, 但对考察学生的学习过程以及学生对新知识和既有知识的联系能力是很有意义的. 例如, 可以让学生思考, 用以表示一个向量的有向线段不是唯一的, 却为什么可以用于定义向量的夹角 (包括向量的平行与垂直) 以及向量的线性运算与数量积, 怎么说明这些定义与所选择的有向线段无关? 向量的有向线段表示不唯一但坐标表示唯一, 这 “不唯一” 如何走向 “唯一”, 其中的关键是什么? 向量在许多领域有着广泛的应用, 各种应用给学生提供了提高数学建模能力的机会, 因为来自数学和其他方面的问题未必是用向量表述的, 学生就必须从中抽象出向量问题, 有时候非向量问题到向量问题的抽象被视为理所当然, 如证明直线间的垂直关系变为证明直线上的向量之间的垂直关系, 然后用向量方法解决所抽象出来的问题, 最后回到原问题的语境解释所得到的结果. 这个过程与一般的数学建模过程类似. 因此, 要从数学建模的高度注意培养和考察学生用向量解决问题的能力. #### 二、教材分析与教学建议 ##### 8.1 向量的概念和线性运算 ### 教学重点理解向量的概念, 理解并能熟练进行向量的线性运算 (加法、减法、实数与向量的乘法). ### 内容分析向量是一个既有大小又有方向的量. 这是向量的描述性定义, 它使学生在情境引入基础上容易接受向量这个概念, 容易据以判断生活和科学中见到的量是否为向量. 教学中要做好铺垫, 并细化处理, 用好教材中列举的生活实例、几何事实和物理量 (如速度、位移等), 体会所举例子的共同本质特征是既有 “大小” 又有 “方向”, 获得对向量的感性认识, 逐渐去体会向量概念的本质, 完成从 “数” 到 “向量” 的认识飞跃. 但向量的这个描述性定义不是严格的数学定义, 无法据以建构数学理论. 向量的严格定义依附于向量空间的定义, 即在严格定义的向量空间中, 向量作为元素出现. 中学数学不可能采取这样的切入方式, 而是描述性定义之后, 通过一定的抽象和几何表示, 借助于学生熟悉的平面上的几何, 建立起向量的线性运算, 推导出运算的基本性质,从而事实上构建了向量空间 (但没有出现这个术语) 的基本框架 (见附录的 1 $)$ . 为了让老师们更清楚地了解这个过程, 我们进一步解释一下教材的具体做法. 教材在给出 “向量是一个既有大小又有方向的量” 的描述性定义后, 马上指出: “准确地说, 一个向量有两个要素定义, 一是它的大小 (一个正实数或零), 一是它在空间中的方向.”这句补白朝着向量概念的数学化迈出了重要一步:它抛弃向量的物理或其他属性, 从数学上把向量描述成一个正实数与空间的一个方向组成的二元组(方向可以理解为一组平行射线, 或等价地理解为过一个预先给定的固定点的一条射线) 或者 0 (由于具有不同方向的零大小的量都是相等的, 故与此相对应的向量只有一个). 教材紧接着给出向量的几何表示, 即用有向线段来表示向量, 甚至直接把有向线段看成向量. 根据定义, 具有相同长度且方向相同(即同向平行)的有向线段表示的是同一个向量. 有了学生熟悉的几何载体,向量的相关概念和线性运算的定义就可以严格地进行了. 这就使我们能在建立严格的(平面)向量理论体系方向上继续前进. 从力的合成这一情境中引出向量加法的平行四边形法则, 然后在数学上证明了平行四边形法则等价于三角形法则. 要给学生强调这是同一个法则的不同表现形式. 当然, 这都是在两个向量不平行的前提下的描述. 如果两个向量平行, 那么平行四边形或三角形退化成了一段双重的线段, 教材第 101 页画出所有三种不同情况. 如图 8- R1, 退化情况可以通过非退化的三角形压扁成线段来说明: ![bo_d402nkref24c73d2tegg_68_415_1679_811_191_0.jpg](../images/bo_d402nkref24c73d2tegg_68_415_1679_811_191_0.jpg) 图 8-R1 压扁过程可以口头描述、教学模型展现或者计算机动态演示. 与向量加法有关的运算律包括交换律与结合律, 列于教材第 102 页. 教材只证明了结合律(例 3),交换律的证明在一个平行四边形用三角形法则中就可以给出(图 8-R2): ![bo_d402nkref24c73d2tegg_69_580_245_359_182_0.jpg](../images/bo_d402nkref24c73d2tegg_69_580_245_359_182_0.jpg) 图 8-R2 由于有了结合律, 可以考虑不加括号的向量连加. 反复使用证明结合律时用的等式 $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ ,就可以得到容易记忆且方便使用的求向量和的“首尾原则”:若干个起点、终点依次相接的向量的和是以第一个向量的起点为起点, 以最后一个向量的终点为终点的向量. 要让学生充分理解并熟练运用这个原则. 这个原则将来还要推广到空间向量. 与数的运算一样, 向量的减法是作为加法的逆运算来定义的, 并通过负向量把减法运算转化为加法运算. 因此, 向量的加法是教学的重点, 减法归结到加法, 不要再就减法本身大动干戈. 实数与向量的乘法是两个不同类的量之间的运算, 直接照本宣科, 对学生来说, 理解起来会有一定难度. 可以让学生体会 scalar(相对于向量, 实数称 scalar)一词的潜在含义. Scalar 是 scale(按比例缩放)的施加者,因此有“缩放器”的原始意义,意味着实数乘在向量上, 就是把实数作为比例系数缩放向量 (负实数作为比例系数时, 除了按绝对值缩放向量外, 还要把向量改变为相反的方向). 有了这样的直观描述, 学生自然理解了实数与向量相乘依旧得到一个向量, 也不难给出这个向量的长度和方向. 我们也常把实数与向量的乘积称为向量的数量倍数, 或简称为向量的倍数. 教材中给出实数与向量相乘的三条重要的运算定律, 它们都很直观, 可以在定义基础上直接验证, 但教材限于篇幅而没有给出证明. 这里给出描述性说明供参考, 它对学生理解这些运算定律会有所帮助: 证 $\left( {\lambda + \mu }\right) \overrightarrow{a} = \lambda \overrightarrow{a} + \mu \overrightarrow{a}$ : 向量 $\overrightarrow{a}$ 的 $\lambda$ 倍加上向量 $\overrightarrow{a}$ 的 $\mu$ 倍是向量 $\overrightarrow{a}$ 的 $\lambda + \mu$ 倍. 证 $\lambda \left( {\mu \overrightarrow{a}}\right) = \left( {\lambda \mu }\right) \overrightarrow{a}$ : 把 $\overrightarrow{a}$ 按比例系数 $\lambda$ 缩放后,再按比例系数 $\mu$ 缩放,其结果即为按比例系数 ${\lambda \mu }$ 缩放. 证 $\lambda \left( {\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}}\right) = \lambda \overrightarrow{a} + \lambda \overrightarrow{b}$ : 如图 8-R3,以 $\overrightarrow{a}\text{、}\overrightarrow{b}$ 为邻边的三角形与以 $\lambda \overrightarrow{a}\text{、}\lambda \overrightarrow{b}$ 为邻边的三角形相似,于是 $\lambda \left( {\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}}\right) = \lambda \overrightarrow{a} + \lambda \overrightarrow{b}$ . ![bo_d402nkref24c73d2tegg_69_373_1874_760_180_0.jpg](../images/bo_d402nkref24c73d2tegg_69_373_1874_760_180_0.jpg) 图 8-R3 向量的加法、减法、实数与向量的乘法的综合运算, 叫做向量的线性运算. 满足所要求运算定律的线性运算的存在是向量空间最本质的特征. 本节至此完成了平面向量理论的框架构建 (见附录的 1). 本节共 8 个例题, 其中例 1 与例 2 是概念的一些实例, 有助于学生的概念理解. 例 3 证明向量加法的结合律,其证明的逻辑起点是对平面上任意三点 $A\text{、}B\text{、}C$ 均有 $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ ,无论三点是否共线. 这是本小节所给出的向量加法的三角形法则及其退化情形的统一表达. 给学生讲清这个公式的来源,结合律的证明就顺理成章了. 这个公式还是非常有用的向量加法的“首尾规则”的依据, 要借助这个公式和结合律的证明把“首尾规则”讲清楚. 例 4 是向量加法的实际应用题, 情境还是力的合成. 必须注意的是, 这里的两个力作用在同一点上, 没有这样的前提, 两个力是无法合成的. 例 5 牵涉到向量的减法, 这里直接用减法的几何表达解题. 将来向量减法问题更多地直接化为加法做. 例 6 是向量线性运算及其运算律的练习题, 由简入繁, 体会向量的计算过程. 例 7 与例 8 都是用两个向量表示第三个向量的问题, 前者从一个关系式解出表示式, 后者从几何图形找出表示式. 这两个例题是向量基本定理的预演, 要让学生体会这里所说的“表示”是用给定的一些向量的线性组合来表达另一个向量. ### 注意事项本教材向量的引入与二期课改教材的处理不同. 二期课改教材把有向线段直接称为向量并用向量记号表示, 事后加上有向线段平移后仍是同一向量的说明. 本教材在向量描述性定义之后, 用非负实数与方向的二元组再给向量以数学的定义, 然后用有向线段把向量表示出来 (即向量的几何表示), 才与二期课改教材进入同一平台. 这样的过程在数学上层层递进, 逐渐严密, 上文已有描述, 希望老师们理解并按此处理. 在讲授向量的几何表示时, 要提醒学生的是, 用以表示一个向量的有向线段不是唯一的, 两个有向线段表示同一向量的充要条件是它们具有相同的长度和方向. 教材提到我们也直接把有向线段看成向量, 这时也要强调把一个有向线段平移后还是同一个向量. 用力的合成作为情境引入向量的加法是标准的做法, 学生也容易理解. 要注意的是, 不是任何两个力都可以合成, 但任何两个向量都可以相加. 这个差异的原因是数学上所研究的向量是自由向量 (见教材第 98 页), 即可以自由平移的向量, 任何两个向量都可以平移到具有相同起点的位置上. 物理学中的力除了大小、方向外, 还有第三个要素作用点, 即向(矢)量的起点. 也就是说,力是一个固定向量,作用点不一致的力无法相加. 这给教学的启示是,虽然“力”可以作为引入向量的情境、向量加法的启示和向量问题的来源,但千万不要整体上把“力”当作向量理论的现实样本. 如要以 “力”来举例或编习题,千万注意问题中的“力”要有相同的作用点. 本教参提供的向量空间的抽象定义以及教材如何从描述性定义逐步走向严谨和完善的过程的描述是为老师们提供的背景材料,希望教学过程中把握正确的导向. 这些内容不应在课堂上面向学生讲授(但不排除作为学有余力的学生进行自主探究的素材, 或者作为学生课外兴趣小组活动的主题). ### 教学建议在向量的基本概念教学中, 可以设置问题情境, 注意调动学生参与概念理解等教学活动的积极性, 引导学生自主举出一些向量的实例. 在向量的加法、减法学习中, 引导学生自主设计多组向量, 并结合平行四边形法则、三角形法则, 通过作图深刻领悟向量加法、减法运算的基本内涵. 实数与向量的乘法是刻画平行向量的重要工具. 教材给出了一个向量与一个非零向量平行的充要条件, 它是几何问题代数化的起点. 从这里开始, 在本章教学中要逐步让学生从理性上理解向量代数在几何中的各种应用. 还可以结合三角形相似等几何变换 (本教参说明 $\lambda \left( {\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}}\right) = \lambda \overrightarrow{a} + \lambda \overrightarrow{b}$ 时就用了相似三角形),引导学生理解向量的线性运算在几何中的意义. #### 8.2 向量的数量积 ### 教学重点在物理中的“功”的基础上抽象出投影向量及向量的数量积概念, 感悟这些问题上数学抽象的特点与意义; 让学生熟悉向量数量积公式 (包括导出的向量夹角公式), 理解向量数量积的运算律. ### 内容分析本节由通过力的作用做功这个物理现象引出向量数量积. 全节包括 “向量的投影” 和“向量的数量积的定义与运算律”两小节. 对“力做功”这个物理模型做分析时,常常把力分解成运动方向上的分力和垂直于运动方向的分力. 垂直于运动方向的分力对做功没有贡献,从而只有在运动方向上的分力才是真正做功的力. 这个运动方向上的分力就是力在运动方向上的投影. 这就引出一个向量在另一个非零向量方向上的投影的概念. 必须强调的是, 这里所说的投影是一个向量(为了强调它的向量属性, 有时用术语投影向量), 它的起点和终点分别是原向量的起点和终点的投影. 必须注意的是, 这与二期课改教材所说的一个向量在另一个非零向量方向上的投影是不一致的. 二期课改教材所说的“投影”是一个数量,其绝对值是本教材所说的投影向量的模. 本教材把二期课改教材所说的“投影”称为“数量投影”. 可以用式子把这两种投影的关系表达出来: 如果 $\overrightarrow{a}$ 是一个非零向量,它的单位向量是 ${\overrightarrow{a}}_{0}$ ,那么向量 $\overrightarrow{b}$ 在向量 $\overrightarrow{a}$ 方向上的投影是 $$ \left| \overrightarrow{b}\right| \cos \langle \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\rangle \overrightarrow{{a}_{0}}, $$ 其中 $\left| \overrightarrow{b}\right| \cos \langle \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\rangle$ 就是向量 $\overrightarrow{b}$ 在向量 $\overrightarrow{a}$ 方向上的数量投影. 这里 $\langle \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\rangle$ 是向量 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 的夹角. 如果仅就向量到向量的投影而言,二者能够互推,这是因为投影是 $\overrightarrow{{a}_{0}}$ 的数量倍数, 完全决定于一个数量, 即数量投影. 由于这个原因, 这两个不同的投影概念在使用层面上没有差异. 但是, 为什么教材以及它的上位文件国家课程标准改用投影向量来阐述相关内容? 最重要的理由是, 数量投影只是在特定语境中定义的一个特殊的概念, 无法在数学更大的范围内进行合适的推广, 而向量意义下的投影是几何学中一般的投影概念在向量理论中的反映. 一般地说, 几何学中的投影是一个几何变换, 它把高维空间的一个几何对象变换到它的一个较低维数的子空间中的一个几何对象 (而不是数). 例如, 三维空间中的物体的三视图就是这个物体在三个互相正交的二维子空间(平面)上的投影. 几何学上的投影一方面起着把高维空间中对象的研究化为较低维数空间中的投影对象的研究(维数的降低可能使研究得以简化); 反过来, 通过在不同较低维数子空间上的投影对象的研究, 又能“拼凑”出有关高维空间原对象的某些认知. 三视图的例子就是这样. 回到向量的语境. 设想老师们都已熟悉空间向量. 我们可以像定义向量到直线(或非零向量方向) 上的投影那样定义一个向量在一个平面上的投影: 如图 8-R4,作向量 $\overrightarrow{AB}$ 的起点 $A$ 与终点 $B$ 在平面 $\alpha$ 上的投影 ${A}^{\prime }$ 与 ${B}^{\prime }$ ,则向量 $\overrightarrow{{A}^{\prime }{B}^{\prime }}$ 就定义为向量 $\overrightarrow{AB}$ 在平面 $\alpha$ 上的投影 (当然,我们还要验证相等的向量在这个做法下得到的投影也是相等的向量, 从而说明这个定义是有意义的, 但这里不深入细节了). 这个定义是向量到向量 (或者说到直线) 投影概念的自然推广. ![bo_d402nkref24c73d2tegg_73_601_613_334_254_0.jpg](../images/bo_d402nkref24c73d2tegg_73_601_613_334_254_0.jpg) 图 8-R4 这里给出的空间向量在平面上的投影出现在本套教材选择性必修第一册习题 3.1B 组第 3 题(教材第 102 页). 这道题中给出了向量意义的投影的传递性:把一个向量投影到一个平面, 再把平面中的投影向量进一步投影到该平面中一个非零向量方向上, 相当于直接把原向量投影到最后的那个非零向量上. 这种传递性也是一般的几何学上投影的传递性在向量理论中的反映. 关于投影的这些说明供教师参考, 并希望教师通过自己的理解和体会, 更好地把教材所讲述的投影内容的教学做好, 特别注意不要把关于投影和数量积的教学回到数量投影主导的思路上. 向量的数量积的定义公式直接脱胎于力做功的计算公式, 学生不太会有理解的困难. 但要提醒学生注意两点: (1)虽然教材在本小节一开始就两个非零向量定义数量积,但在后面加了“零向量与任意向量的数量积为 0 ”的规定,它保证了数量积的定义公式同样适用于零向量的情况,只要加上一个普适的假设: 零向量与任何向量的夹角可以是 $\left\lbrack {0,\pi }\right\rbrack$ 中的任何角. (2)运算与数的乘法运算的本质差别还在于:两个数相乘,得到的运算结果还是一个数, 即整个运算过程都在数的集合内部实现了; 但是, 两个向量的数量积是一个数, 不再是一个向量了, 也就是说数量积运算不能在向量集合内部实现. 还可以比较实数与向量的乘积, 它是两个不同类型的量进行运算, 而数量积是两个相同类型的量 (都是向量) 进行运算, 得到另外类型的量(实数). 要用这些例子启发学生认识到运算的概念也会随着数学研究范围的扩大而得到拓展. 要求学生理解并能运用的数量积的运算律有交换律、对数乘的结合律和对向量加法的分配律. 这些运算律及其证明在教材第 113-114 页, 这里只对向量数量积对加法的分配律的证明做如下细节补充:由于向量和的投影等于它们投影的和这一结论已在例 2 证明, 因此 $$ \begin{aligned} \left| {\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}\right| \cos \langle \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}\rangle \overrightarrow{{a}_{0}} = \left| \overrightarrow{b}\right| \cos \langle \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\rangle \overrightarrow{{a}_{0}} + \left| \overrightarrow{c}\right| \cos \langle \overrightarrow{a},\overrightarrow{c}\rangle \overrightarrow{{a}_{0}} & \\ = \left( {\left| \overrightarrow{b}\right| \cos \langle \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\rangle + \left| \overrightarrow{c}\right| \cos \langle \overrightarrow{a},\overrightarrow{c}\rangle }\right) \overrightarrow{{a}_{0}}, & \end{aligned} $$ ① 这里 ${\overrightarrow{a}}_{0}$ 是 $\overrightarrow{a}$ 的单位向量. 直接把 ① 式两端的向量与 $\overrightarrow{a}$ 做数量积,并注意到 $\overrightarrow{a} \cdot \; \overrightarrow{{a}_{0}} = \left| \overrightarrow{a}\right|$ ,就得到所希望的结果. 也可以由①式得出 $$ \left| {\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}\right| \cos \langle \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}\rangle = \left| \overrightarrow{b}\right| \cos \langle \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\rangle + \left| \overrightarrow{c}\right| \cos \langle \overrightarrow{a},\overrightarrow{c}\rangle . $$ ② ②式两边同乘实数 $\left| \overrightarrow{a}\right|$ 也得到所要的结果. ②式说的是向量和的数量投影等于它们数量投影的和, 这里是通过投影向量证明的, 与二期课改教材中的证法不一样. 还要注意教材第 113 页边框中的两点说明: 其一, 对向量的数量积谈结合律是没有意义的, 因为不能定义三个向量的数量积(前段所说, 两个向量的数量积不再是向量了, 当然就无法与第三个向量做数量积); 其二, 对向量的数量积, 消去律不成立, 即从 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$ 及 $\overrightarrow{c} \neq \overrightarrow{0}$ 无法推出 $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b}$ (这等价于两个非零向量的数量积可以是零). 在这些运算律之外, 不必让学生再去掌握其他“公式”. 例 4 的两个公式 (完全平方公式与平方差公式) 也仅是例题而已, 不要求学生掌握与应用, 更不要追求它们的 “丰富内涵”. 本节给出的向量夹角公式是向量的数量积的定义公式的简单变形, 目前还没有看出它的强大功能, 可以像教材那样, 先给学生一个预告: 当向量的坐标表示实现后, 向量的数量积直接由坐标算出, 这个夹角公式就变成非常有用了. 留一个伏笔, 引起学生继续学习的兴趣. 向量的数量积是在平面上既有的角度和垂直关系的本质反映, 从而必然是刻画向量垂直关系的最本质的手段, 要让学生深刻理解和掌握. 教材中与垂直关系充要条件并列的不等式 $\left| {\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}\right| \leq \left| \overrightarrow{a}\right| \left| \overrightarrow{b}\right|$ 及其相等情况的分析难度不大,也希望学生了解. 在下文(8.3 节例 8)还会回到这个话题. 这里特别提醒学生注意,这个不等式中“≤”号两边的“ ︳”符号有着不同的含义. 本节共 6 道例题. 例 1 不过是投影的具体例子, 有助于学生对概念的理解. 例 2 证明了两个向量和的投影等于投影的和, 这是向量投影的线性性质中比较困难的一部分 (另一部分是向量数量倍数的投影等于投影的同一数量倍数, 见练习 8.2 (1)的第 1 题),但用几何方法解决,直截了当. 实际上,从本例题结论立即可以推出两个向量和的数量投影等于数量投影的和. 本例题的所证结果在下一小节向量数量积对加法的分配律的证明中起关键作用. 例 3 是求数量积的具体例子. 例 4 要求证明两个“乘法公式”, 即两向量和的平方公式和两向量平方差的公式, 边框中还提到两向量差的平方公式. 注意, 这里所说的“平方”都是指一个向量和自己的数量积. 前面说过, 这些公式仅作为例题, 不要求掌握. 事实上, 要使用这些公式时, 直接推导也是很容易的. 这里还要再提醒学生注意的是, 不是所有关于数的乘法公式都可以移植到向量上, 例如所有三次方以上的公式都不能移植, 因为一个向量关于数量积的三次方是无法定义的. 例 5 与例 6 是使用向量夹角公式的具体例子. 上文说过, 向量夹角公式真正发挥作用是在向量的坐标表示之后. 这里的两个例子不过是小试牛刀. ### 注意事项本教材没有把向量的数量积放在 “平面向量的坐标表示” 总标题之下,明确表明数量积的定义与坐标表示没有关系, 注意这个变化. 在坐标表示下数量积的公式, 则在下一节中再介绍. 对部分教师而言, 从数量投影到投影向量的转换也许有一定困难. 希望大家认真阅读上文所说的这种转换的意义,先让自己对教材和教学内容理解上完成这种转换, 才能对本节内容的教学有更好的把握. 从参与运算的量和运算结果的量的差别, 让学生体会数的乘法、数与向量的乘法以及向量的数量积之间的差别, 理解数学运算概念的拓展. 让学生体会不能定义三个向量的数量积, 从而数量积的结合律无从谈起. ### 教学建议对学生直截了当地讲投影向量, 数量投影仅作为辅助概念出现, 不要偏离这个取向. 本教参花费较多篇幅谈投影向量在数学中的地位和意义, 是为了让老师们的思想从数量投影主导转换到投影向量主导. 学生第一次接触向量的数量积概念, 没有习惯的或固有的想法, 因此不要把概念转换所引起的困惑传递给学生. 数量积运算的定义是本节的核心内容, 其引入的逻辑顺序是: “力做功”作为情境, 得到功的计算公式, 再直接模仿功的计算公式定义向量的数量积. 这样的处理没有过分依赖投影概念, 对学生直接切入核心内容的学习是有所裨益的. 但这样的处理也有明显的不足:“向量的投影”这一小节的内容容易被边缘化. 教材例 2 的设置并把例题的结论用于向量数量积对加法的分配律的证明, 在某种程度上弥补了这个缺陷, 希望老师们注意到这一点. 有兴趣的老师也可以尝试直接模仿功的定义(而不是功的计算公式)来定义向量的数量积. 这样的处理使得 “做功的情境引入一投影的讨论一数量积的定义”的过程一气呵成,实质性地把投影向量融合于向量的数量积的定义中,有它理论上的优势. 这个定义分两个步骤完成. 第一步,先定义两个平行向量 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 的数量积 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \pm \left| \overrightarrow{a}\right| \left| \overrightarrow{b}\right|$ , 两向量同向取正,异向取负; 第二步,对任意向量 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ (其中 $\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0}$ ),定义 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \; \overrightarrow{a} \cdot {\overrightarrow{b}}^{\prime }$ ,其中 $\overrightarrow{{b}^{\prime }}$ 为 $\overrightarrow{b}$ 在 $\overrightarrow{a}$ 方向上的投影. 这个定义中的第一步是把 “功等于位移方向上的力乘位移” 这个直观描述数学化, 第二步是功的定义的直接模仿. 要从这个定义得出数量积的公式,只要对平行向量 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 验证一下 $\left( {\lambda \overrightarrow{a}}\right) \cdot \left( {\mu \overrightarrow{b}}\right) = {\lambda \mu }\left( {\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}\right)$ ,再把投影的公式代入就可以了. 在数量积的教学中要特别启发学生理解, 向量的数量积与数的乘积是截然不同的运算, 绝对不能想当然地把数的运算的性质搬到向量的数量积上, 要让学生体会到重新审视和证明数量积的运算定律的必要性. 希望老师们能回忆一下大学的代数课程,并且能理解:我们现在在平面上已知的欧氏空间结构中做数量积, 而在大学高等代数或线性代数课程中, 欧氏空间的结构是反过来由给定的数量积决定的. 可见, 数量积与欧氏空间结构本质上是一回事. 因此, 在本节教学中, 数量积与欧氏空间中的夹角(特别是垂直关系) 的联系是数量积必须要关注的, 数量积的几何应用也常常围绕这个关系推出. 本节教学应聚焦于向量理论本体, 可以适当联系向量在平面几何和三角学中的应用, 但不宜喧宾夺主. #### 8.3 向量的坐标表示 ### 教学重点本节的主题是把 8.1 节所定义的平面向量、它们的线性运算与数量积用坐标形式表达出来. 第 1 小节“向量基本定理”一般性地讨论平面向量写成两个给定的不平行向量之线性组合的问题, 这里没有给这两个不平行向量再附加其他条件; 第 2 小节“向量的正交分解与坐标表示”讨论了向量的正交分解 (即把任意向量写成两个互相垂直向量的线性组合问题), 并且很快就转入更为特殊的坐标分解, 即关于预先给定的坐标系中的坐标轴正方向上的单位向量的分解上; 后面两节 (“向量线性运算的坐标表示” 与“向量数量积与夹角的坐标表示”) 分别在坐标分解的语境中进行向量的线性运算与数量积运算. 本节教学的关键点有两个, 其一是向量基本定理的意义和证明; 其二是向量的坐标表示. 有了向量的坐标表示以后, 寻求各种向量运算在坐标表示下的表现形式是顺理成章的事,难度也不大. ### 内容分析 “向量基本定理”是本节内容的逻辑基础. 这个定理的叙述和证明都与坐标系无关, 但教材从学生非常熟悉的直角坐标系引入, 让学生感知, 通过平面直角坐标系, 可以把平面向量与有序实数对一一对应; 并把这个一一对应最后解释为向量写成坐标轴上单位向量的线性组合, 从而为向量基本定理做了一个铺垫, 然后进入一般情况的向量基本定理的叙述和证明. 这样的处理旨在充分顾及学生的认知规律, 降低教学难度. 向量基本定理是向量理论中举足轻重的一个定理, 联系着这一理论中的许多基本概念和结论. 在平面的情况下, 这些概念和结论看起来不会太“高大上”, 甚至觉得有些平凡琐碎. 我们必须理解并建立这些看似平凡的概念、结论与向量空间一般理论中的概念、结论的联系, 以便把这些概念拓展到空间向量(选择性必修第一册第 3 章)以及对学生未来可能的选修课程的学习, 从而发展学生的数学抽象素养. 在向量空间理论中, 线性相关与线性无关是一对非常重要的概念. 如果一组向量有一个非平凡的线性组合等于 $\overrightarrow{0}$ ,那么称这组向量是线性相关的; 反之,如果一组向量的任何非平凡的线性组合都不等于 0 , 那么称这组向量是线性无关的. 对于平面向量, 两个向量平行(共线)与线性相关(一组向量有一个非平凡的线性组合等于0)是等价的, 因而不平行(不共线)等价于线性无关. 一个向量空间的基是它的一个极大线性无关向量组(这组向量是线性无关的, 但添加任何向量以后就变成线性相关的了). 基的等价定义是向量空间中的一组向量使得任意向量都可以唯一表示成这组向量的线性组合. 把这个定义与向量基本定理比较, 得知向量基本定理就是描述向量空间基的定理, 因此, 在一些文献中也称此定理为向量空间基定理. 平面向量基本定理说的是: 平面上任意两个不平行(不共线) 的向量都组成平面向量的一个基. 向量空间的一个重要性质是任何基所包含元素的个数是不变的, 这个元素个数称为向量空间的维数. 平面向量基本定理告诉我们平面向量组成的向量空间是二维的. 这与我们关于维数的直观认知是一致的. 向量基本定理的证明对学生而言可能有一定难度. 一个难点是, 学生习惯于在直角坐标系中求点的坐标 (这是本节用直角坐标系引入的理由), 但向量基本定理只给出两个不平行的向量, 不要求垂直, 因此不能用直角坐标系. 它也不是简单地用平行四边形法则求和, 而是已知和与两个加项所在的直线, 求加项. 这实际上还是坐标系的思想, 不过是斜坐标系 (对学生不要用此名词). 可启发学生, 在直角坐标系中求坐标虽然常说是作坐标轴的垂线, 也可以说成作另一条坐标轴的平行线, 平行线的思想就可以模仿到非直角的情况, 然后就程序化地作出平行四边形, 找出线性组合的系数. 这个证明的图示(教材第 118 页)画的是向量 $\overrightarrow{a}$ 与给定的两个向量 $\overrightarrow{{e}_{1}}$ 与 $\overrightarrow{{e}_{2}}$ 都不平行的一般情况,但证明实际上也包含 $\overrightarrow{a}$ 与向量 $\overrightarrow{{e}_{1}}$ 或 $\overrightarrow{{e}_{2}}$ 平行 (包括 $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}$ 的情况) 的特殊情况. 如果觉得学生不能从一般情况体会特殊情况, 也可以把平行的特殊情况单独证明. 此时证明很简单: 不妨设 $\overrightarrow{a}//\overrightarrow{{e}_{1}}$ ,由于 $\overrightarrow{{e}_{1}} \neq \overrightarrow{0}$ ,一定存在 $\lambda \in \mathbf{R}$ ,使得 $\overrightarrow{a} = \lambda \overrightarrow{{e}_{1}}$ (见教材第 105 页所给出的向量平行的充要条件),这就把 $\overrightarrow{a}$ 写成向量 $\overrightarrow{{e}_{1}}$ 与 $\overrightarrow{{e}_{2}}$ 的线性组合 $\overrightarrow{a} = \; \lambda \overrightarrow{{e}_{1}} + 0\overrightarrow{{e}_{2}}$ . 向量基本定理证明的另一个难点是唯一性的证明, 虽寥寥数语, 但所隐含的思想如不深入体会, 便难以真正掌握证明的真谛. 应该告诉学生, 在证明唯一性问题上, 一个常用的方法是假设有两个满足要求的东西 (向量、方程、代数式、几何图形等), 然后证明这两个东西实际上是同一个东西. 这是证明中所谓的“同一法”. 还要给学生强调, 证明“同一”的时候, 要用好已知条件, 进行严格的逻辑推理. 例如, 本定理证明中,从 $\left( {\lambda - {\lambda }^{\prime }}\right) {\overrightarrow{e}}_{1} = - \left( {\mu - {\mu }^{\prime }}\right) {\overrightarrow{e}}_{2}$ 推出 $\lambda = {\lambda }^{\prime },\mu = {\mu }^{\prime }$ 就完全依赖于条件 ${\overrightarrow{e}}_{1}$ 与 ${\overrightarrow{e}}_{2}$ 不平行(即线性无关). 在向量基本定理的基础上,“向量的正交分解与坐标表示”小节关注“正交分解” (即向量关于两个互相垂直的向量的分解) 这一特殊情况, 并以物理中“力的正交分解” 和“平面直角坐标系”为例子. 专注于正交分解就是专注于向量分解理论中应用最广泛的部分, 又与学生的既有知识有密切的联系, 也更符合学生的认知发展规律. 正交分解中更具使用价值的是“标准正交分解”, 即关于一对互相正交的单位向量的分解. 互相正交的单位向量组成基则称为“标准正交基”. “标准正交分解”与“标准正交基”的概念可以推广到定义了正定数量积的高维实空间(即欧氏空间)上, 引出一系列的理论发展. 但本教材回避了这两个概念的术语和一般定义(希望教学中也不要涉及这两个概念),直接从平面直角坐标系的例子直接引入了“坐标分解”的概念:在既有的(即预先设定的)直角坐标系中,在 $x$ 轴和 $y$ 轴正方向给出单位向量 $\overrightarrow{i}$ 和 $\overrightarrow{j}$ ,关于这两个向量的分解就是“坐标分解”, 从而给出向量的坐标表示, 并通过位置向量的概念, 说明向量的坐标本质上就是位置向量终点的坐标, 从而严格阐明平面向量与有序实数对一一对应的关系. 第 3 小节“向量线性运算的坐标表示”推导了向量的线性运算(包括向量加减法、实数与向量的乘法)在向量的坐标表示下的对应运算法则. 至此, 把 8.1 节所描述的平面向量的全体实现为用坐标表示的二维向量空间 (见附录的 2). 本小节还给出了坐标表示下向量的模的计算公式. 我们还可以注意到, 线性运算的公式其实在任何基下面都有类似的形式, 未必要标准正交基. 事实上,如果给定平面上不平行的两个向量 $\overrightarrow{{e}_{1}}$ 与 $\overrightarrow{{e}_{2}}$ ,任何平面向量都可以唯一地表示成 $x\overrightarrow{{e}_{1}} + y\overrightarrow{{e}_{2}}$ 的形式,其中 $x\text{、}y \in \mathbf{R}$ . 如果也用实数对 $\left( {x, y}\right)$ 记这个向量, 那么教材第 121 页上关于线性运算的规则依然成立, 那里的证明也可以直接搬到这种更一般的情况. 所以希望在讲这些公式时, 不要过分强调正交分解. 但本小节的模的计算公式依赖于正交分解. 与线性运算不同的是, 向量的数量积依赖于欧氏空间结构 (我们已经反复讲过), 所以第 4 小节“向量数量积与夹角的坐标表示”的讨论完全建立在标准正交分解的基础上, 我们从教材第 123 页上的向量数量积公式的证明中就可以看到这一点. 用向量在直角坐标系中的坐标表示, 向量的数量积有着非常简洁的表示式, 而原来的向量夹角 (余弦) 公式也演变成了向量坐标之间的简单运算. 向量坐标表示的这个优势是向量方法解决许多几何问题的基础. 教材第 124 页给出了两向量垂直与平行的充要条件, 是这种优势的小试牛刀. 这两个充要条件简单、工整、对称, 实用性强, 也应该让学生掌握. 本节一共 8 个例题. 例 1 要求用平行四边形的两条邻边所代表的向量的线性组合来表示该平行四边形中的一些其他线段所代表的向量, 这是诠释向量基本定理的实例. 注意, 这是本节例题中唯一采用非正交分解的例子, 教学中应充分利用这一点给学生一些 “斜分解” 的直觉和基本计算能力. 例 2 要求写出一些向量的坐标. 图中所画向量有的不是从坐标原点出发, 提醒学生求向量的坐标不是简单地找向量终点的坐标, 只有当向量的起点落在坐标原点时, 其终点的坐标才是向量的坐标; 在其余的情况下, 一定要先把向量平移, 使其起点置于坐标原点(即作出已知向量的位置向量), 才能求它的坐标. 在下一小节例 4 前面(教材第 121 页)又回到求向量坐标的话题,给出了向量的坐标等于其终点坐标减去其起点坐标的结论. 在这个地方可以回顾一下例 2 , 再进入例 4. 例 3 至例 5 都是与第 3 小节内容相关的简单计算:例 3 关于线性运算；例 4 求起点不在坐标原点的向量的坐标,不用几何方法作位置向量,而是用终点坐标减去起点坐标的代数方法; 例 5 比例 4 更深入一步, 要用向量的模求单位向量的坐标. 例 6 给定了两个向量的坐标, 求它们的夹角, 是第 4 小节所给的向量夹角公式的直接应用; 例 7 用求向量的数量积证明垂直关系, 把话题引导到紧接在后面的向量垂直与平行的充要条件上. 例 8 给出了向量在代数中应用的一个例子: 用向量方法证明柯西一施瓦兹不等式. 这道例题以及下一节的一些例题往往有一些难度, 在教学中应尽量启发学生如何找到解题思路, 如何克服解题过程的难点等. 比如针对例 8 , 可以比较柯西一施瓦兹不等式与向量夹角公式从而找到切入点, 启发学生由余弦函数的取值范围推出不等式, 再把等号成立的条件化为余弦函数值的条件及向量平行条件, 最后用平行的充要条件得出结论. ### 注意事项向量基本定理只要求两个向量不平行, 没有垂直之类更强的假设条件. 本套教材之所以从平面直角坐标系引入话题, 纯粹是从学生熟悉的语境出发帮助学生理解, 不要把向量基本定理讲成只针对两个互相垂直向量的情况. 当然, 在中学阶段, 向量基本定理的主要作用是给出向量的坐标表示, 所以在第 1 小节讲了一般性向量基本定理后,后几个小节只聚焦于正交分解和坐标表示(实际上,如上文所说,向量的线性运算公式并不依赖于正交分解). 向量通过它的坐标与有序实数对 $\left( {x, y}\right)$ 一一对应,但这里向量的坐标指的是把向量起点放在坐标原点时, 向量终点的坐标. 要反复提醒学生, 通过平移把向量的起点置于坐标原点(即作出给定向量的位置向量), 或者通过把向量终点坐标减去其起点坐标得到向量的坐标. ### 教学建议向量基本定理的表述和证明是本节的关键点和主要难点, 应按教材建议, 从学生熟悉的直角坐标系情境入手,再推广到一般情况. 其“存在性”的构造性证明和“唯一性”的同一法证明,对学生都有一定难度,要让学生在学习中了解这些证法,尝试使用这些证法, 以提高逻辑推理能力. 注意学生的理解情况, 必要时放慢进度, 让学生酝酿体会,直至有较好的理解和掌握. 建立了向量的坐标表示后,第 3 和第 4 小节中的公式和结论的证明基本上是常规的计算和验证, 建议可让学生在教师指导下尝试自行推导或证明, 以锻炼学生的数学运算和逻辑推理素养. 第 1 小节后的“探究与实践”可作为数学探究活动的素材. 虽然不必向学生讲解, 但是老师们要了解本节牵涉到许多向量空间理论中的重要概念和理论, 而最本质的是, 本节经历了通过一个基, 把抽象的向量空间表示为由数组组成的“比较具体的”向量空间 (见附录的 2), 以及通过一个标准正交基, 把抽象的欧氏空间表示为由数组组成的“比较具体的”欧氏空间. #### 8.4 向量的应用 ### 教学重点通过用向量工具解决代数、几何、三角和物理等领域中的问题, 既是对前面几节内容的复习回顾, 更是对向量作为解决各种问题的工具的揭示, 对解决问题的基本思路和基本方法的示范. 培养学生自觉地把向量工具作为解决数学其他分支和其他学科问题以及实际问题的一个重要的选项, 并逐步提高这个工具的使用能力. ### 内容分析在本章 8.1-8.3 节所发展出来的平面向量的基础上, 8.3 节末尾已呈现了向量在代数中应用的例子, 本节继续给出向量在平面几何、函数以及物理等方面的应用. 我们已经看到向量理论本身严密精美,有丰富内涵,构成了精致的代数结构；我们还将看到向量理论的另外一面一一它还是数学和其他学科中一个有用的数学工具, 可以把许多问题转化为向量问题, 并最终通过向量的坐标表示转化为代数问题来处理. 学生可以从中体会数学中各个分支间以及数学与外部世界的交叉融合、相得益彰的魅力. 例 1 用向量坐标法证明定比分点公式. 这里不仅仅指 “内定比分点” (即在线段内部的定比分点),因此题目一开始就说 “P 是直线 ${P}_{1}{P}_{2}$ 上的点”,而不是说 “P 是线段 ${P}_{1}{P}_{2}$ 上的点”. 需要注意条件 $\lambda \neq - 1$ ,引导学生从几何上思考: 如果 ${P}_{1} \neq {P}_{2}$ ,是否存在使 $\overrightarrow{{P}_{1}P} = - \overrightarrow{P{P}_{2}}$ 的点 $P$ ? 或者从代数解题过程中讨论 $\lambda \neq - 1$ 将出现什么问题. 如果希望给学生几何直观,可以分 $\lambda < - 1\text{、} - 1 < \lambda < 0$ 与 $\lambda \geq 0$ 三种情况讨论,并分别画图. 问题最后得到有向线段的定比分点公式, 特别是线段中点坐标公式有很多应用, 建议学生尽量记忆, 并可直接使用. 中点公式在例 2 中有直接应用. 与定比分点相关的还有练习 8.4(1)的第 3 题,习题 8.4A 组的第 1 题. 例 2 利用例 1 得到有向线段的定比分点公式进一步给出了三角形重心的坐标表示, 是向量的坐标表示法在平面几何上的应用. 许多平面几何的定理和问题可以用向量方法解决, 例 3 就是这样的例子, 它用向量法证明了平行四边形的一个判定定理: 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 证明过程只用到向量加法, 非常简单. 在讲解过程中, 不妨与以前初中时期的初等几何方法相比较, 从中可以看到这一新方法的简捷之处. 但要注意, 两个向量相等给出的不仅仅是向量所在的线段相等, 而是它们平行且相等. 练习 8.4(1) 第 2 题、习题 8.4A 组第 4 题以及习题 8.4B 组第 5 题都是平面几何定理或问题的向量解法, 与本例题有异曲同工之妙. 例 4 实际上是把原点为一个顶点的三角形的面积用另外两个顶点的坐标表示出来, 其第(1)小题是第(2)小题的中间结果, 是为减小例题难度而设的铺垫. 公式的证明用到了向量的坐标表示、由两边长与夹角正弦乘积之半表达的三角形面积以及向量的数量积. 本题的关键点是把三角形面积公式中的正弦与向量数量积中的余弦联系起来, 因此自然想到的是求面积的平方, 走了这一步, 其他的就迎刃而解了. 这里得到的面积公式简洁明了, 用起来也非常方便, 在本教材中, 可以作为结论使用. 如果三角形的第三个顶点不在坐标原点, 仍可以用此公式, 只不过要先求出其两边向量的位置向量. 练习 8.4(1)第1题、习题 8.4A 组第2题就可以这样解答, 习题 8.4B 组第 2 题也是该例题的拓展. 例 5 旨在呈现向量方法和函数领域的联系, 体现了运用向量方法在求解这类问题中的简捷之处, 其中蕴涵向量的数量积和它的几何内涵. 在讲解过程中, 或可以通过与其他的方法相比较, 进而体会这一方法的特色在哪里. 练习 8.4 (2) 第 2 题是该例题的知识延伸. 与平面几何类似, 许多三角学的公式、定理也可以用向量方法证明, 这里给出的例 6 就要求用向量方法证明两角差的余弦公式. 证明在单位圆中进行, 思路很简单, 不过是用两种办法计算两个角 $\alpha$ 与 $\beta$ 终边上的单位向量 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 的数量积,再令两种算法的结果相等. 这里要注意的是,因为题目中 $\alpha$ 与 $\beta$ 可以是任意角,不能保证 $\langle \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\rangle = \alpha - \; \beta$ ,而只能保证这两个角有相同的始边与终边. 这已经足够使我们的证明进行下去了. 可以引导学生用向量方法证明正弦定理、余弦定理等(见习题 8.4A 组第 3 题), 使学生体会向量方法带来的便利以及向量在三角中的广泛应用. 例 7 是向量在力学上的应用, 向量上不过是一个向量沿两个不同方向的分解问题, 与向量基本定理的证明有着相似的情境. 这里提请注意两点: 一, 我们多次强调过, 力的问题中, 必须作用点相同的力才可能做数学意义的向量运算; 二, 这个问题不是对重力做分解, 而是对总拉力做分解, 而由于系统是平衡的, 因此总拉力与重力大小相等,方向相反. 练习 8.4(2) 的第 1 题也是力的问题. ### 注意事项除了向量的数量积和向量的坐标表示外, 在二期课改中其余平面向量内容都在初中教材中, 尽管向量内容完全夹杂在几何内容中, 但鉴于学生的知识基础, 向量在几何上的应用无法深入. 相比于此, 新教材在这方面的要求有较大的提高, 编排集中, 涉及面拓宽, 习题也更丰富了. 希望通过这一章节向量与数学内外其他知识的联系的呈现, 让学生对向量的广泛应用和处理问题的简洁明了有深刻的印象, 让向量工具成为学生解决数学问题或其他相关问题时的重要选项. 当然, 向量也有很多局限性, 不可能解决所有的科学难题, 教学中也务必强调这一点. 另外, 不宜过多挖掘与向量有关的应用问题, 造成学生负担过重. 向量也不能代替平面几何中的演绎推理. 这方面一定要适可而止. ### 教学建议作为课堂的引入,可以通过简要的复习,或让学生以小组分享形式对前三节的重要知识和内容有所回忆和综合. 由于向量蕴藏有代数与几何的双重属性, 相关的知识可以相当丰富,因此在具体解题应用中会有不同的方法呈现,而老师和学生们的群策群力, 可能会找寻到各种各样的向量与非向量的解题之路. 希望通过向量的应用这一节的学习, 发展学生的建模素养, 进一步推动学生用数学的更加多元的眼光观察和思考身边的世界. 本节旨在介绍和呈现向量的一般应用, 一共安排了两个课时, 在学生已经知道和明了关于向量的各种应用的基础上, 不宜对初等几何的一些难题多作纠缠. #### 三、参考答案或提示 ##### 8.1 向量的概念和线性运算练习 ${8.1}\left( 1\right)$ 1. (3)(6)(8)；电场强度等. 2. 不是, 图略. 3. (1) $\overrightarrow{EF}$ 、 $\overrightarrow{CB}$ . (2) $\overrightarrow{FA}$ 、 $\overrightarrow{DC}$ 、 $\overrightarrow{AF}$ 、 $\overrightarrow{CD}$ . (3) $\overrightarrow{AB}$ 、 $\overrightarrow{BA}$ 、 $\overrightarrow{BC}$ 、 $\overrightarrow{CB}$ 、 $\overrightarrow{CD}$ 、 $\overrightarrow{DC}$ 、 $\overrightarrow{DE}$ 、 $\overrightarrow{ED}$ 、 $\overrightarrow{EF}$ 、 $\overrightarrow{FE}$ 、 $\overrightarrow{AF}$ 、 $\overrightarrow{FA}$ 、 $\overrightarrow{OA}$ 、 $\overrightarrow{OB}$ . (4) $\overrightarrow{AF}$ 、 $\overrightarrow{CD}$ . 练习 8.1 (2) 1. (1) $\overrightarrow{CB}$ . (2) $\overrightarrow{BA}$ . 2. 证明略,可以. 3. 不能,因为三个向量 $\overrightarrow{a}\text{、}\overrightarrow{b}$ 和 $\overrightarrow{c}$ 可能是共线向量. 练习 8.1(3) 1. (1) ${17}\overrightarrow{a} - {10}\overrightarrow{b}$ . (2) $- \frac{7}{12}\overrightarrow{a} + \frac{13}{12}\overrightarrow{b}$ . (3) $- {{11}\overrightarrow{b}} + {{11}\overrightarrow{c}}$ . 2. (1) $- \frac{3}{5}\overrightarrow{b}$ . (2) $\frac{2}{5}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ . (3) $\frac{2}{5}\overrightarrow{a} - \frac{3}{5}\overrightarrow{b}$ . 3. $\overrightarrow{AD} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b},\overrightarrow{AG} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{b},\overrightarrow{GC} = \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{b}$ . 习题 8.1 A 组 1. 单位圆. 2. (1)图略. (2)图略. (3) 图略. 3.(1)假命题,理由略. (2)真命题,理由略. (3)假命题,理由略. (4)假命题,理由略. 4. (1) $\overrightarrow{DB}\text{、}\overrightarrow{FE}$ . (2) $\overrightarrow{CF}$ 、 $\overrightarrow{FA}$ 、 $\overrightarrow{ED}$ . (3) $\overrightarrow{AD}\text{、}\overrightarrow{DA}\text{、}\overrightarrow{BD}\text{、}\overrightarrow{DB}\text{、}\overrightarrow{AB}$ 、 $\overrightarrow{BA}\text{、}\overrightarrow{FE}$ . 5.(1)图略. (2)图略. 6. (1) $\overrightarrow{0}$ . (2) $\overrightarrow{0}$ . (3) $\overrightarrow{AB}$ . 7.(1)向东走 $4\mathrm{\;{km}}$ . (2)向南偏东 ${45}^{ \circ }$ 方向走 $2\sqrt{2}\mathrm{\;{km}}$ . (3)向北偏东 ${45}^{ \circ }$ 方向走 $\sqrt{2}\mathrm{{km}}$ . (4)向南走 3 km. 8. $4\sqrt{13}$ . 9.(1)证明略. (2) 证明略. 10. (1) $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ . (2) $- \overrightarrow{a} - {{10}\overrightarrow{b}} + {7\overrightarrow{c}}$ . (3) $- \overrightarrow{a} + {2\overrightarrow{b}}$ . 11. 证明略. 12. (1) $\frac{1}{2}\overrightarrow{a} - \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$ . (2) $\frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$ . 习题 8.1 B 组 1. (1)图略. (2)图略. (3)图略. 2. (1) $\sqrt{2}$ . (2) 1. (3) 2. 3. (1)图略. (2)图略. 4. (1)证明略. (2)证明略. 5.(1)假命题,理由略. (2) 真命题, 理由略. (3)真命题, 理由略. 6. 证明略. 7. 证明略. 8. 证明略. ##### 8.2 向量的数量积 ### 练习 8.2(1) 1. 证明略. 2. (1) $\frac{\pi }{3}$ . (2) $\frac{\pi }{3}$ . (3) $\frac{2\pi }{3}$ . 3. $\pm \frac{24}{25}\overrightarrow{a}, \pm {4.8}$ . ### 练习 8.2(2) 1. 直角三角形, 理由略. 2. (1) ${16} - {18}\sqrt{3}$ . (2) $\frac{2\pi }{3}$ . 3. $\sqrt{7}$ . 习题 8.2 A 组 1. $- \frac{4}{3}\overrightarrow{b}$ . 2. $\frac{3}{2}$ . 3. $3\sqrt{2}$ . 4. 0 . 5. $\frac{\pi }{4}$ . 6.27. 7. 等边三角形, 理由略. 8. (1) -10. (2) -93 . 9. 29. 10. (1) $\frac{\sqrt{2}}{2}$ . (2) $\frac{\pi }{4}$ . 11. (1) -16. (2) -25. 12. -1. 习题 8.2 B 组 1. $\sqrt{3}$ . 2. $\sqrt{7}$ . 3. $- \frac{3\sqrt{3}}{2}$ . 4.10. 5. -16. 6. $\frac{\pi }{3}$ . 7. 证明略. 8. 证明略. #### 8.3 向量的坐标表示练习 8.3(1) 1. $\overrightarrow{OA} = \left( {a\cos \theta }\right) \overrightarrow{i} + \left( {a\sin \theta }\right) \overrightarrow{j},\overrightarrow{O{A}^{\prime }} = \left( {a\cos \theta }\right) \overrightarrow{i} - \left( {a\sin \theta }\right) \overrightarrow{j}$ . 2. $\overrightarrow{OC} = - \overrightarrow{a} + 0\overrightarrow{b},\overrightarrow{OD} = 0\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b},\overrightarrow{DC} = - \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b},\overrightarrow{BC} = - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ . 3. $\overrightarrow{AG} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{b},\overrightarrow{BG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{a} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b},\overrightarrow{CG} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{a} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b}$ . ### 练习 8.3(2) 1. $3\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \left( {-8,{14}}\right) ,\left| {3\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}}\right| = 2\sqrt{65}$ . 2. $\left( {\frac{3}{5}, - \frac{4}{5}}\right)$ . 3. $\overrightarrow{AB} = \left( {1,1}\right) ,\overrightarrow{BC} = \left( {2,2}\right) ,\overrightarrow{AC} = \left( {3,3}\right)$ . 证明: $\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{AB}$ ,或 $\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AB}$ ,或 $\overrightarrow{AC} = \frac{3}{2}\overrightarrow{BC}$ 等. 练习 ${8.3}\left( 3\right)$ 1. $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 8,\overrightarrow{c} \cdot \left( {\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}}\right) = - 2$ . 2. $\left| \overrightarrow{a}\right| = 5,\left| \overrightarrow{b}\right| = {13},\langle \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\rangle = \arccos \frac{33}{65}$ . 3. $k = 0$ 或 $k = 2$ . 4. $k = 1,\overrightarrow{c} = \left( {2, - 1}\right)$ . 习题 8.3 A 组 1. $\overrightarrow{OM} = \frac{1}{6}\overrightarrow{a} + \frac{5}{6}\overrightarrow{b},\overrightarrow{ON} = \frac{2}{3}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{b},\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} - \frac{1}{6}\overrightarrow{b}$ . 2. $2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} = \left( {4,7}\right) ,\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} = \left( {-5,0}\right) ,\frac{1}{2}\overrightarrow{a} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b} = \left( {-\frac{7}{6},\frac{2}{3}}\right)$ . 3. $\overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \left( {6,0}\right)$ . 4. $\left| \overrightarrow{a}\right| = {13},\overrightarrow{{a}_{0}} = \left( {-\frac{5}{13},\frac{12}{13}}\right)$ . 5. $C\left( {-1,\frac{3}{2}}\right) , D\left( {-{11}, - 1}\right) , E\left( {\frac{7}{3},\frac{7}{3}}\right)$ . 6. $x = \frac{5}{3}$ . 7. $P\left( {\frac{5}{3}, - 2}\right)$ 或 $P\left( {\frac{13}{3},2}\right)$ . 8. $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 5,\langle \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\rangle = \frac{\pi }{4}$ . 9. $m = 1$ 或 $m = - 6$ . 10. $\left( {-\frac{2\sqrt{5}}{5},\frac{\sqrt{5}}{5}}\right)$ 或 $\left( {\frac{2\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}}\right)$ . 习题 8.3 ### B 组 1. $C\left( {6,9}\right) , D\left( {3,{12}}\right) , E\left( {5,{10}}\right) .C\text{、}D\text{、}E$ 三点共线. 2. $m = \frac{1}{2}$ . 3. $A\left( {-3,0}\right) \text{、}B\left( {0,9}\right)$ 或 $A\left( {-\frac{3}{2},0}\right) \text{、}B\left( {0, - 9}\right)$ . 4. $k = 5$ . #### 8.4 向量的应用练习 $\mathbf{{8.4}\left( 1\right) }$ 1. 9. 2. 证明: 由图可知, $\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ ,于是 $\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AD} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - }\right. \; \left. {\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}}\right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}}\right) = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ . 因此, ${DE}//{BC}$ . 3. $\left( {0,{15}}\right)$ . ### 练习 8.4(2) 1.(1) $\overrightarrow{{f}_{2}} = \left( {1 + \sqrt{3},3 + \sqrt{3}}\right)$ . (2) ${10}\left( {3 + \sqrt{3}}\right)$ 焦耳. 2. 当点 $P$ 的坐标是 $\left( {\frac{8}{37},\frac{85}{37}}\right)$ 时, $\left| \overrightarrow{BP}\right|$ 取到最小值. 习题 8.4 A 组 1. $\left( {\frac{5}{2},\frac{13}{3}}\right)$ . 2. $\frac{3}{2}$ . 3. 证明略, 提示: 利用向量的数量积及其相关性质. 4. 证明略, 提示: 综合运用向量的线性运算和数量积的相关知识. 5. 证明: 设 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b}$ ,则 $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ . 再设 $\overrightarrow{AM} = \lambda \overrightarrow{AC}$ ,于是 $\overrightarrow{AM} = \lambda \overrightarrow{a} + \; \lambda \overrightarrow{b},\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CN} = \left( {1 - \lambda }\right) \overrightarrow{a} + \left( {1 - \lambda }\right) \overrightarrow{b}.$ 类似地,可求得 $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AB} = \left( {\lambda - 1}\right) \overrightarrow{a} + \lambda \overrightarrow{b},\overrightarrow{ND} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AN} = \left( {\lambda - 1}\right) \overrightarrow{a} + \; \lambda \overrightarrow{b}$ ,从而有 $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{ND}$ . 因此, 四边形 BMDN 是平行四边形. ### B 组 1. 证明略, 提示: 运用向量的概念和线性运算及其性质. 2. 证明略,提示: $\overrightarrow{CA} = \left( {{x}_{1} - {x}_{3},{y}_{1} - {y}_{3}}\right) ,\overrightarrow{CB} = \left( {{x}_{2} - {x}_{3},{y}_{2} - {y}_{3}}\right)$ ,进而利用 8.4 节例 4 的思路即可获证. 3. 证明: 构造向量 $\overrightarrow{u} = \left( {a + 2, b + 3}\right) ,\overrightarrow{v} = \left( {1,1}\right)$ ,则由 $6 = \left| {\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}\right| \leq \left| \overrightarrow{u}\right| \left| \overrightarrow{v}\right| \leq \; \sqrt{2}\left| \overrightarrow{u}\right|$ ,可知 $\left| \overrightarrow{u}\right| \geq 3\sqrt{2}$ ,从而有 ${\left( a + 2\right) }^{2} + {\left( b + 3\right) }^{2} \geq {18}$ . 当取等号时,与 ${}^{a}a\text{、}b$ 均为正数,且 $a + b = 1$ ” 矛盾,因此 ${\left( a + 2\right) }^{2} + {\left( b + 3\right) }^{2} > {18}$ . 此题亦可借助于其他的方式构造向量来求证. 4. 证明: 设 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b}$ ,则 $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a},\overrightarrow{AE} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AC} = \frac{3}{4}\overrightarrow{a} + \frac{3}{4}\overrightarrow{b}$ ,进而可求出 $\overrightarrow{ME} = \frac{1}{4}\overrightarrow{a} + \frac{3}{4}\overrightarrow{b}$ 和 $\overrightarrow{DE} = \frac{3}{4}\overrightarrow{a} - \frac{1}{4}\overrightarrow{b}$ . 再利用已知 ${ABCD}$ 是一个正方形验证 $\overrightarrow{ME} \cdot \overrightarrow{DE} = 0$ 即可. 5. 证明: 设此平行四边形为 ${ABCD}$ ,记 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b}$ ,进而将所求的向量写成 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 的线性组合. 不妨与 8.4 节例 1 中的定比分点公式相比较. ### 复习题 ### A 组 1. (1) $3\sqrt{2}$ . (2) $\sqrt{26}$ . (3) $2\sqrt{2}$ . 2. $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 同向. 3. 证明略, 提示: 计算它们的终点连成的向量. 4. $\left( {1,4}\right)$ . 5. $\left( {-7, - \frac{\sqrt{14}}{2}}\right) \cup \left( {-\frac{\sqrt{14}}{2}, - \frac{1}{2}}\right)$ . 6. (1)√58．(2)－－－),反向. 7. (1)(-9,15),3/34. (2) $\left( {3,6}\right) ,\left( {{19}, - {39}}\right)$ . (3) -56 . 8. $\lambda = 1,\mu = - 2$ . 9. $\left( {\frac{1}{3}, - \frac{5}{3}}\right)$ . 10. 证明略,提示: 用 $\overrightarrow{AB}\text{、}\overrightarrow{AC}$ 表示 $\overrightarrow{AD}\text{、}\overrightarrow{BC}$ . 11. 证明: $4\overrightarrow{PG} = 2\overrightarrow{PN} + 2\overrightarrow{PM} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PD}$ . 12. 证明略,提示: 计算得到 $\overrightarrow{AD}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 平行, $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{CD}$ 不平行. B 组 1. 证明略. 2. $\overrightarrow{c} = \frac{2}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{b}$ . 3.(1)证明略,提示:两个向量的数量积为 0 . (2) $\frac{\pi }{6}$ 或 $\frac{7\pi }{6}$ . 4. $\sqrt{2}$ . 5. $- \frac{3}{2}$ . 6. $- \frac{2}{3}$ . 7. $\left( {4,2}\right)$ . 8. 证明略,提示: 设 $\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{AB} + \lambda \overrightarrow{AD},0 < \lambda < 1$ ,用 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AD}$ 作为基向量表示 $\overrightarrow{PD}$ 和 $\overrightarrow{EF}$ . 9. 证明略,提示: 以一条边及其上的高所在的直线为 $x$ 轴和 $y$ 轴建立平面直角坐标系. 10. $\overrightarrow{{f}_{2}}$ 的大小为 ${1000}\sqrt{{13} - 6\sqrt{3}}\mathrm{\;N}$ ,与 $M$ 的前进方向的夹角为 $\arcsin \frac{1}{\sqrt{{13} - 6\sqrt{3}}}$ . ### 拓展与思考 1. 不存在. 2. 证明略, 提示: 寻找合适的坐标轴建立平面直角坐标系. #### 四、相关阅读材料 ### 参考文献张景中, 彭翕成. 绕来绕去的向量法 $\left\lbrack \mathrm{M}\right\rbrack$ . 北京: 科学出版社, 2010. ### 附录 1. 向量空间的抽象定义实数域 $\mathbf{R}$ (也可换成其他数域) 上的向量空间是一个集合 $V$ ,并且 (1)有一个定义在 $V$ 上的二元运算十(加法),使得 $a + b \in V$ ,对所有 $a$ 、 $b \in V$ ,并且满足 ① $a + b = b + a$ ,对所有 $a$ 、 $b \in V$ ； ② $\left( {a + b}\right) + c = a + \left( {b + c}\right)$ ,对所有 $a$ 、 $b$ 、 $c \in V$ ； ③存在一个元素 $0 \in V$ ,使得 $0 + a = a$ ,对所有 $a \in V$ ; ④对任何 $a \in V$ ,存在元素 $- a \in V$ ,使得 $a + \left( {-a}\right) = 0$ . (2)任意 $\lambda \in \mathbf{R}$ 与 $a \in V$ 定义一个元素 ${\lambda a} \in V$ (可理解为实数 $\lambda$ 与向量 $a$ 的积),满足 ① ${1a} = a$ ,对所有 $a \in V$ ； ② ${0a} = 0$ ,对所有 $a \in V$ ； ③ $\lambda \left( {\mu a}\right) = \left( {\lambda \mu }\right) a$ ,对所有 $a \in V$ , $\lambda$ 、 $\mu \in \mathbf{R}$ ； ④ $\left( {\lambda + \mu }\right) a = {\lambda a} + {\mu a}$ ,对所有 $a \in V,\lambda \text{、}\mu \in \mathbf{R}$ ； ⑤ $\lambda \left( {a + b}\right) = {\lambda a} + {\lambda b}$ ,对所有 $a\text{、}b \in V,\lambda \in \mathbf{R}$ . 2. 向量空间的例设 $n$ 是一个正整数, $n$ 个实数的数组组成的集合 $$ {\mathbf{R}}^{n} = \left\{ {\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \mid {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n} \in \mathbf{R}}\right\} $$ 是一个向量空间, 只要定义 $$ \begin{gather} \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) + \left( {{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n}}\right) = \left( {{x}_{1} + {y}_{1},{x}_{2} + {y}_{2},\cdots ,{x}_{n} + {y}_{n}}\right) , \\ \lambda \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) = \left( {\lambda {x}_{1},\lambda {x}_{2},\cdots ,\lambda {x}_{n}}\right) , \end{gather} $$ 这里 $\lambda$ 与所有 ${x}_{i}\text{、}{y}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots , n}\right)$ 都是实数. 这是一个 $n$ 维向量空间,向量 $$ \left( {1,0,\cdots ,0}\right) ,\left( {0,1,\cdots ,0}\right) ,\cdots \cdots ,\left( {0,0,\cdots ,1}\right) $$ 就组成它的一个基. 实际上,这个例子有它的普遍意义: 实数域 $\mathbf{R}$ 上的任何 $n$ 维向量空间都可以通过它的一个基表示为 (更严格的数学语言是 “同构于” ) ${\mathbf{R}}^{n}$ . 说明: 在线性代数或高等代数课程中, 为了把线性变换的矩阵左乘, 常用列的形式把数组写成 $\left( \begin{matrix} {x}_{1} \\ {x}_{2} \\ \vdots \\ {x}_{n} \end{matrix}\right)$ .